Setelah pada postingan sebelumnya kita membahas tentang cara menghitung akar fungsi dengan metode bagi dua (bisection),
kali ini agar lebih mudah memahaminya kita langsung aplikasikan aja yuk ke
contoh soal berikut :
Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Bisection sehingga x2 + 3x -
6 = 0 dengan toleransi kesalahan E=0.01.
1. Langkah pertama, menentukan dua nilai x
awal.
Misal : x1 = 1 dan x2 = 2
Kemudian cek apakah kedua nilai
tersebut memenuhi syarat
f(x1) = f(1) = (1)2 + 3(1) - 6 = -2
f(x2) = f(2) = (2)2 + 3(2) - 6 = 4
Karena f(x1 ).f(x2 ) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar.
f(x1) = f(1) = (1)2 + 3(1) - 6 = -2
f(x2) = f(2) = (2)2 + 3(2) - 6 = 4
Karena f(x1 ).f(x2 ) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar.
2. Langkah kedua, mencari nilai xr
xr = (x1+x2)/2 atau xr=(1 + 2)/2 = 1.5
dan
f(xr) = f(2) = (2)2 - 3(2) + 6 = 4
karena nilai f(xr) dan nilai f(x1) berbeda tanda, maka xr menggantikan x2. Jika sama tanda maka xr menggantikan x1.
xr = (x1+x2)/2 atau xr=(1 + 2)/2 = 1.5
dan
f(xr) = f(2) = (2)2 - 3(2) + 6 = 4
karena nilai f(xr) dan nilai f(x1) berbeda tanda, maka xr menggantikan x2. Jika sama tanda maka xr menggantikan x1.
Dan begitu seterusnya hingga nilai f(xr)
< E
Berikut saya beri tabel penyelesaiannya
No
|
X1
|
X2
|
F(X1)
|
F(X2)
|
Xr
|
f(Xr)
|
|
1
|
1
|
2
|
-2
|
4
|
1.5
|
0.75
|
|
2
|
1
|
1.5
|
-2
|
0.75
|
1.25
|
-0.6875
|
|
3
|
1.25
|
1.5
|
-0.6875
|
0.75
|
1.375
|
0.015625
|
|
4
|
1.25
|
1.375
|
-0.6875
|
0.015625
|
1.3125
|
-0.33984375
|
|
5
|
1.3125
|
1.375
|
-0.33984
|
0.015625
|
1.34375
|
-0.163085938
|
|
6
|
1.34375
|
1.375
|
-0.16309
|
0.015625
|
1.359375
|
-0.073974609
|
|
7
|
1.359375
|
1.375
|
-0.07397
|
0.015625
|
1.367188
|
-0.02923584
|
|
8
|
1.367188
|
1.375
|
-0.02923
|
0.015625
|
1.371094
|
-0.006819243
|
|
Karena |f(xr)| <= 0.01 maka
iterasi dihentikan dan diperoleh solusi persamaan nonlinear yang diinginkan
yaitu x = 1.371095
Pada kesempatan posting
kali ini saya akan membahas tentang salah satu metode dalam pencarian akar
dalam penyelesaian sebuah fungsi. Metode yang dimaksud adalah metode bisecton atau metode bagi dua, sebuah
cara penyelesaian persamaan non linier dengan membuat dua buah bagian interval
dari domain penyelesaian persamaan non linier tersebut. Proses pembagian
interval tersebut mula-mula di awali dengan penentuan interval yang memuat
solusi (akar) untuk f(x). Berikut diberikan ilustrasi grafis metode Bisection.
Nah
terdapat beberapa ketentuan penghentian pencarian akar jika diberikan suatu
toleransi keakuratan, yaitu sebagaimana simbol-simbol dibawah ini
Nah sekarang kita liat yuk
algoritmanya, bagaimana penjelasannya, yuk liat dibawah ini 
Proses pembagian interval
tersebut mula-mula di awali dengan penentuan interval yang memuat solusi (akar)
untuk f(x). Berikut diberikan ilustrasi grafis metode Bisection.
1. Mula-mula
pilih x1 dan x2 sembarang sehingga f(x1)f(x2)
< 0
Pada tahap ini, prinsipnya adalah menentukan
lokasi titik potong f(x) dengan sumbu x. Kondisi ini terjadi apabila x1 dan x2 yang
dipilih memberikan nilaif(x1)
dan f(x2) berlainan tanda
(positif atau negatif) sebagaimana pada gambar 1.2 di atas. Hal ini dapat
ditentukan dengan jika f(x1)f(x2) < 0, maka
diantaranya ada yang negatif dan yang lainnya positif.
Kemungkinan pemiilihan x1 dan x2
mungkin kurang tepat, hal ini disebabkan karena
tidak ada x sehingga f(x) = 0 pada interval x1< x < x2
yang dipilih. Cara matematis untuk
memeriksa hal tersebut adalah f(x1)f(x2) > 0. Artinya
jika f(x1)f(x2) > 0, maka pada interval [x1
x2] tidak memuat x sehingga f(x) = 0. Jika pada interval tersebut
nilai akar f(x) dicari, maka tentunya tidak akan pernah ditemukan.
2. Hitung
nilai xr = 0.5(x1 + x2)
Pada tahap ini sesungguhnya dilakukan upaya
membagi dua interval akar menjadi dua buah bagian yang sama. Titik baginya
disebut xrsehingga bagian-bagian intervalnya menjadi x1<
x < xr dan xr< x < x2.
3.
Periksaposisi nilai xr dengan
Posisi nilai xr ada tiga kemungkinan,
yakni
(1). sebelah kiri akar,
(2) sebelah kanan akar, atau
(3) tepat pada titik akar.
4.
Perbaharui interval akar persamaan sebelumnya
Pada tahap ini dilakukan pemilihan bagian interval
yang memuat akar persamaan, maka dapat dikontruksi tolak ukur interval yang
baru sebagai berikut:
1. Berdasarkan
nilai f(x1).
a.
Jika f(x1)f(xr) > 0, maka
x1 = xr (geser posisi x1 ke xr
diperoleh interval baru [x1 x2]
= [xr x2]
b. Jika f(x1)f(xr)
< 0, amak x2 = xr (geser posisi x2 ke xr
diperoleh interval baru [x1 x2]
= [x1 xr]
c.
Jika f(x1)f(xr) = 0, maka
akar = xr
interval tidak
perlu di buat, karena xr adalah nilai x sehingga f(x) = 0.
2. Berdasarkan
nilai f(x2).
a. Jika f(x2)f(xr)
< 0, maka x1 = xr (geser posisi x1 ke xr)
diperoleh interval baru [x1
x2] = [xr x2]
b. Jika f(x2)f(xr)
> 0, amak x2 = xr (geser posisi x2 ke xr
diperoleh interval baru [x1
x2] = [x1 xr]
c. Jika f(x2)f(xr)
= 0, maka akar = xr.
interval tidak perlu di
buat, karena xr adalah nilai x sehingga f(x) = 0.
5. Kembali lagi diulangi
membagi interval akar yang baru diperoleh dengan mengikuti langkah 2, 3 dan 4
di atas sehingga diperoleh nilai f(xr) = 0 atau f(xr)
sedekat mungkin dengan 0 (nol).
Mencermati
uraian proses metode Bisection di
atas, maka dapat dirumuskan suatu algoritma program sebagai berikut:
Algortima Program Metode
Bisection
Step
0. Mulai
Step
1. Tentukan interval [x1 x2]
Step
2. Hitung nilai f(x1) dan f(x2)
Step
3. Jika f(x1)f(x2) < 0, maka kerjakan step 4 sampai
11
Step 4. Masukan toleransi error (E)
Step 5. Ulangi terus step 6 sampai 11 jika |f(xr)| > e
Step 6. Hitung nilai xr = 0.5(x1
+ x2)
Step 7. Hitung nilai f(xr)
Step 8. Jika |f(xr)| > e, maka
kerjakan step 9 sampai 11
Step 9. Hitung nilai f(x1)
Step 10. Jika f(x1)f(xr)
< 0, maka x2 = xr
Step 11. Jika f(x1)f(xr)
> 0, maka x1 = xr
Step
.12 Jika f(x1)f(x2) > 0, maka tidak ada akar pada [x1
x2]
Step
13. Selesai
|
Kelebihan Metode Bagi Dua (Bisection)
- metode
bisection sangat sederhana
- selalu
konvergen
Kelemahan Metode Bagi Dua (Bisection)
- harus
menebak dua titik
- kekonvergenan
relatif lambat
jika pada selang diamati terdapat akar yang sama (double
root) atau closely spaced roots, metode bagi dua memberikan hasil yang
tidak akurat.