Contoh soal
Tentukan
nilai x dengan menggunakan metode Regula Falsi sehingga xe-x + 1 = 0 dengan
toleransi kesalahan E=0.001.
Solusi:
Penyelesaian
dengan program computer setelah mengkonversi algoritma program di atas menjadi
algoritma komputasi, maka diperoleh output sebagai berikut:
f(x)
= x*exp(-x)+1
[x1
x2] = [-1 0]
f(-1)
= -1.7183
f(0)
= 1
Karena
f(x1)f(x2)<0, maka x shg f(x)= 0 pada interval [-1 0]
Toleransi
Kesalahan = 0.001
Iterasi
ke-1
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
= -1-(0 - -1)f(-1)/(f(0)-f(-1))
= -1-(1)(-1.7183)/(1 - -1.7183)
= -1-(-1.7183)/(2.7183)
= -1-(-0.63212)
= -0.36788
f(xr)=
0.46854
Karena
|f(xr)| = 0.46854>0.001=e maka update [x1 x2]
Karena
f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr
Jadi
interval baru adalah [-1 -0.36788]
Iterasi
ke-2
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
= -1-(-0.36788 -
-1)f(-1)/(f(-0.36788)-f(-1))
= -1-(0.63212)(-1.7183)/(0.46854 - -1.7183)
= -1-(-1.0862)/(2.1868)
= -1-(-0.49669)
= -0.50331
f(xr)=
0.16742
Karena
|f(xr)| = 0.16742>0.001=e maka update [x1 x2]
Karena
f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr
Jadi
interval baru adalah [-1 -0.50331]
Iterasi
ke-3
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
=
-1-(-0.50331 - -1)f(-1)/(f(-0.50331)-f(-1))
= -1-(0.49669)(-1.7183)/(0.16742 - -1.7183)
= -1-(-0.85345)/(1.8857)
= -1-(-0.45259)
= -0.54741
f(xr)=
0.053649
Karena
|f(xr)| = 0.053649>0.001=e maka update [x1 x2]
Karena
f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr
Jadi
interval baru adalah [-1 -0.54741]
Iterasi
ke-4
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
= -1-(-0.54741 -
-1)f(-1)/(f(-0.54741)-f(-1))
= -1-(0.45259)(-1.7183)/(0.053649 - -1.7183)
= -1-(-0.77767)/(1.7719)
= -1-(-0.43888)
= -0.56112
f(xr)=
0.016575
Karena
|f(xr)| = 0.016575>0.001=e maka update [x1 x2]
Karena
f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr
Jadi
interval baru adalah [-1 -0.56112]
Iterasi
ke-5
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
= -1-(-0.56112 - -1)f(-1)/(f(-0.56112)-f(-1))
= -1-(0.43888)(-1.7183)/(0.016575 - -1.7183)
= -1-(-0.75413)/(1.7349)
= -1-(-0.43469)
= -0.56531
f(xr)=
0.0050629
Karena
|f(xr)| = 0.0050629>0.001=e maka update [x1 x2]
Karena
f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr
Jadi
interval baru adalah [-1 -0.56531]
Iterasi
ke-6
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
= -1-(-0.56531 -
-1)f(-1)/(f(-0.56531)-f(-1))
= -1-(0.43469)(-1.7183)/(0.0050629 -
-1.7183)
= -1-(-0.74692)/(1.7233)
= -1-(-0.43341)
= -0.56659
f(xr)=
0.001541
Karena
|f(xr)| = 0.001541>0.001=e maka update [x1 x2]
Karena
f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr
Jadi
interval baru adalah [-1 -0.56659]
Iterasi
ke-7
xr
= x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))
= -1-(-0.56659 -
-1)f(-1)/(f(-0.56659)-f(-1))
= -1-(0.43341)(-1.7183)/(0.001541 - -1.7183)
= -1-(-0.74473)/(1.7198)
= -1-(-0.43303)
= -0.56697
f(xr)=
0.00046855
Karena
|f(xr)| = 0.00046855<0.001=e maka proses berhenti
Jadi
akar persamaan adalah x = -0.56697 dengan f(xr) = 0.00046855
Hasil
komputasi di atas, menujukkan bahwa solusi pendekatan untuk x sehingga f(x) = 0
adalah x = -0.56697. Nilai tersebut diperoleh setelah melakukan perhitungan
hingga iterasi ke-7. Konvergensi iterasi ini lebih cepat jika dibandingkan
dengan metode Bisection. Grafik laju
konvergensi dan akar persamaan fungsi diberikan sebagai berikut:
Gambar 1.10. Grafik konvergensi dan akar persamaan dengan
metode Regula Falsi