Contoh Soal Metode Dekomposisi LU (Lower Upper) Ordo 4X4


Contoh Soal

Selesaikan Sistem Persamaan Linear berikut dengan metode Dekomposisi LU (Lower Upper)


 Pertama-tama kita ubah sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks

Untuk mendapatkan link penyelesaian dari permasalahan tersebut, silahkan klik disini.
Read More 0 comments

Contoh Soal Beserta Jawaban Metode Balikan (Invers) Ordo 4X4

Read More 0 comments

Contoh Soal Beserta Jawaban Metode Determinan Ordo 4X4


Contoh Soal

Tentukan determinan dari matriks berikut ini :
Tentukan Determinan dari matriks berikut ini :

Untuk mendapatkan link penyelesaian dari permasalahan tersebut, silahkan klik disini.
Read More 0 comments

Contoh Soal Beserta Jawaban Metode Eliminasi Gauss-Jordan 4 Variabel

Contoh Soal
Selesaikan Sistem Persamaan Linear berikut dengan metode Gauss-Jordan
Untuk mendapatkan link penyelesaian dari permasalahan tersebut, silahkan klik disini.
Read More 0 comments

Metode Eliminasi Gauss-Jordan


Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut.


Solusinya: 
   

Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.
Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:
1.       Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).
2.       Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
3.       Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
4.       Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:
1.       Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n
2.       Buat augmented matriks [A½B] namakan dengan A
3.       Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n
a)      Perhatikan apakah nilaisama dengan nol:

Bila ya:
Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i+k≤n, dimanatidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.
Bila tidak: Lanjutkan
b)     Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung


  
4    .       Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n
Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n
Hitung
Hitung
.       Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) 


5Contoh:
Penyelesaian:


baris (ii) ditambah hasil kali -2 dengan baris (i)



  baris (iii) ditambahkan dengan hasil kali baris (i) dan baris (-3)


baris (ii) dikalikan (1/2)



baris (iii) ditambah hasil kali baris (ii) dengan (-3)




   baris (iii) dikali (-2)




baris (i) ditambah hasil kali baris (ii) dengan (-1)



baris (i) ditambah hasil kali baris (iii) dengan (-1/12)
baris (ii) ditambahhasil kali baris 9iii) dengan (7/2)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Read More 0 comments

Contoh Soal Beserta Jawaban Metode Eliminasi Gauss 4 Variabel

Contoh Soal
Selesaikan Sistem Persamaan Linear berikut dengan metode Gauss


Untuk mendapatkan link penyelesaian dari permasalahan tersebut, silahkan klik disini.
Read More 0 comments

Metode Eliminasi Gauss




Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:



  
            Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur  (backward substitution):



... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...


Sekali diketahui, maka nilaidapat dihitung dengan :
Sekali  diketahui, maka nilai dapat dihitung dengan:

Kondisi  sangat penting. Sebab bila, persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.
Contoh:
 x + y + 2y = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0

  


 
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)


kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii) 



kalikan baris (ii) dengan (1/2)
           


kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

kalikan baris (iii) dengan (-2)




Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 

Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalahinidapatjugatimbulbilaelemen pivot sangatdekatkenol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka gala tpembulatan dapat muncul.
Ada duamacamtata-ancang pivoting, yaitu:
a.       Pivoting sebagian (partial pivoting)
Padatata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilihdarisemuaelemenpadakolom p yang mempunyainilaimutlakterbesar,

Lalu Lalu pertukarkan baris k denganbariske p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2
Perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular system).

b.      Pivoting Lengkap (complete pivoting)
Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elementer besar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubahu rutans uku x dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti.Contoh:
Dengan menggunkan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan metode eliminasi Gauss:

            a.        Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)
            b.      Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)
Penyelesaian
a.       
Tanpa tata-ancang pivoting sebagian

                        Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot)

                        Jadi,

                       Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:

(jauh dari solusi sejati)
Jadi, x = (3.333, 1.001). Solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi karenasangat kecil bila dibandingkansehingga galat pembulatan yang kecil pada menghasilkan galat besar di. Perhatikan juga bahwa 1.569 - 1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.

b.      Dengan tata-ancang pivoting sebagian

Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi pivot

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:

(lebih baik daripada solusi a)

 Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan ini karena tidak sangat kecil dibandingkan dengansehingga galat pembulatan yang kecil padatidak akan menghasilkan galat yang besar pada 
Read More 0 comments